Развёрнутая форма записи числа

В позиционной системе счисления с целочисленным основанием q любое число можно записать в привычной нам свёрнутой форме или же в развёрнутой.

Число A, записанное в системе счисления с основанием q, будем записывать так: A_q (нижний индекс q показывает основание системы счисления).

Например:

• 1234₁₀ — число в десятичной системе счисления (q=10);
• 456₇ — число в семеричной системе счисления (q=7);
• 1010101₂ — число в двоичной системе счисления (q=2).

В общем виде число, записанное в свёрнутом виде, мы можем представить в такой записи:

±a_{n-1}a_{n-2}...a_1a_0

В этой записи:

• знак ± показывает знак числа (в дальнейшем для простоты будем рассматривать только положительные числа);
• n – количество разрядов числа;
• a_n-1 .. a₀ — цифры числа, а нижние индексы — соответствующие порядковые номера (причём младший разряд имеет номер 0; очевидно, тогда старший будет иметь номер n–1).

Мы знаем, что привычные нам десятичные числа легко разложить на разряды. Так, число 1234₁₀ — тысяча двести тридцать четыре — буквально означает следующее: «одна тысяча, две сотни, три десятка и четыре единицы».

1234_{10} = 1 \cdot 1000 + 2\cdot100 + 3\cdot10 + 4 \cdot 1

Нетрудно заметить, что вес каждого разряда — это степень десяти (а десять — основание системы счисления).

1234_{10} = 1 \cdot 1000 + 2\cdot100 + 3\cdot10 + 4 \cdot 1 = \newline
= 1\cdot10^3 + 2\cdot10^2+3\cdot10^1 + 4\cdot10^0

При этом показатели степени, в которую возводятся основания системы счисления, соответствуют порядковым номерам разрядов. Нумеруем разряды по вышеописанному принципу: младший разряд — 0, старший — n-1.

Такую форму и называют развёрнутой формой записи числа.

Рассмотрим ещё один пример — число 6375.

В нём: 

• цифра 6 стоит в третьем разряде (тысячи, 10³),
• цифра 3 – во втором разряде (сотни, 10²),
• цифра 7 – в первом (десятки, 10¹),
• цифра 5 – в нулевом (единицы, 10⁰).

В общем виде эту запись можно выразить формулой:

A_q = ± (a_{n-1}\cdot q^{n-1}+a_{n-2}\cdot q^{n-2} + ... + a_1\cdot q^1 + a_0\cdot q^0)

Обратите внимание: любое число (кроме нуля), возведённое в нулевую степень, равно единице!

n^0 = 1

Ещё примеры:

123_{10} = 1\cdot10^2 + 2 \cdot10^1+3\cdot10^0 \newline
10110_{2} = 1\cdot2^4 + 0\cdot2^3+1\cdot2^2+1\cdot2^1+0\cdot2^0 \newline
1212_3 = 1\cdot3^3+2\cdot3^2+1\cdot3^1+2\cdot3^0 \newline
21456_7 = 2\cdot7^4+1\cdot7^3+ 4\cdot7^2+5\cdot7^1+6\cdot7^0

10110_{2} = 1\cdot2^4 + 0\cdot2^3+1\cdot2^2+1\cdot2^1+0\cdot2^0 = \newline
= 1\cdot16+0+1\cdot4+1\cdot2+0= 16 + 4 + 2 = 22_{10}

Таким образом,

10110_2 = 22_{10}